תפילת מנחה - על שום מה?

לאחרונה שאל אותי מישהו: מדוע נקרא תפילת מנחה בשם זה? מה הקשר בין התפילה לקרבן מן הצומח?
תוספות במסכת פסחים (דף קז עמוד א ד"ה סמוך למנחה) שואלים שאלה זו:
תימה אמאי קרי ליה מנחה?
תשובתם היא שזה על שם מנחת התמיד שהיתה קריבה יחד עם קרבן התמיד של בין הערביים [כך כותב גם רד"ק בספר השרשים, שורש מנח.]. אך אם כך,
דאי משום דמנחה היתה קריבה בין הערבים הלא גם בשחר קריבה מנחת חביתין ומנחת תמיד? - הרי גם עם תמיד של שחר קרב מנחת תמיד?
על זה עונים התוספות שתי תשובות:
וי"ל בשחר יש שם אחר תפלת שחרית - לשחרית כבר היה שם ולכן את השם מנחה העבירו לתפילה של הצהריים.
ועוד דאמרינן בפרק קמא דברכות (דף ו:) הוי זהיר בתפלת מנחה שאף אליהו לא נענה אלא בתפלת מנחה ושמא בשעת הקרבת מנחה נענה ולכך קרי ליה תפלת מנחה שאז היה שעת רצון. - כיוון שאליהו נענה בזמן הקרבת המנחה (= מנחת התמיד) התפילה נקראת על שם אותה תפילה של אליהו.

[רואים מכאן, אגב, דבר מפליא: חז"ל ראו משמעות מיוחדת דווקא במנחה הקריבה עם קרבן התמיד, אולי אפילו יותר מקרבן התמיד עצמו. אולי על פי זה יש להסביר מדרש מעניין בפרשת קרח:
ויאמר אל ה' אל תפן אל מנחתם אל תקבלם בתשובה. היה צריך למקרא לומר, אל תפן אל עבודתם. ומהו אל מנחתם? כך אמר משה לפני הקדוש ברוך הוא: ריבונו של עולם, יודע אני באלו שיש להם חלק באותה מנחה שישראל מקריבים לפניך בכל יום. הואיל ופירשו אלו מבניך, אל תסתכל בחלקם, תניחנו האש לא תאכלנו.]

מסורת הש"ס שם בפסחים מביא את דברי האבודרהם הכותב שיש להסביר שמנחה זה זמן ביום, וכך מתרגם התרגום את הפסוק "וישמעו את קול ה' אלקים מתהלך בגן לרוח היום": "לרוח היום" - "למנח יומא".

בספר "נפש הגר" על תרגום אונקלוס הוא מסביר את הביטוי "למנח יומא":
וכתב הרב ר' נתן אדלער ושני פעלים בלשון ארמי מנח ודנח. הראשון לשון מנוח וכו' ומורה על שקיעת החמה והשני כמו זרח זריחת השמש כמו לקמן: "ויזרח לו השמש" - "ודנח ליה שמשא".